Un número es perfecto cuando la suma de sus divisores propios exceptuándose a sí mismo es igual al número. Esta propiedad la descubrió Pitágoras. Por ejemplo 6 =1+2+3 ; 28 = 1+2+4+7+14
Los primeros números perfectos son: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056. Todos los números perfectos terminan en 6 o en 8, pero no se van alternando indefinidamente. Este número, 2216090.(2216091-1), que tiene mas de cien mil dígitos, es perfecto. No se sabe si existe algún número perfecto impar. Tampoco se sabe si existen infinitos números perfectos
El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula 
. Al darse cuenta que 2n – 1 es un primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n–1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.
Un número se dice ligeramente deficiente si la suma de sus divisores es igual al número - 1. Bastantes números cumplen esta condición, en cambio no se ha encontrado ningún número ligeramente abundante (cuando sus divisores suman el número +1), pero nadie ha conseguido demostrar que no existen números ligeramente abundantes.
Un número es abundante cuando la suma de sus divisores propios es mayor que el número. Si vemos los divisores del número 4, que es un cuadrado perfecto y tenemos en cuenta el carácter doble del 2 como divisor de 4, descubrimos que es un número abundante ya que : 1+2+2+4=5
Un número es deficitario cuando la suma de sus divisores propios es menor que el número. 10 es un número deficiente ya que: 1+2+5=8
Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían pero muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas.
2n-1 es un número primo de Mersenne. Por lo tanto, los números perfectos y los números primos de Mersenne están relacionados. Los número primos de Mersenne cumplen que 2n-1 da un número primo.
El problema reside en hallar una regla que permita encontrar números perfectos, y que tambien sea útil para deducir si un número es o no perfecto.
En algunos números la suma de sus divisores es un múltiplo del número. Estos números son denominados perfectos por múltiplos.
El problema de encontrar estos números fue propuesto por Mersenne en una carta a Descartes. Fermat descubrió el 2º ejemplo de nº perfecto por múltiplos, el 672. Descartes contestó a Mersenne diciéndole que había encontrado otro número, el 1.476.304.896.
Pero los números perfectos son meras curiosidades sin utilidad alguna.
